Суммирование методом Рамануджана: 1 + 2 + 3 + … + ∞ = −1/12?

В качестве эпиграфа я взял то, что сказала мне мама, узнав от меня об этой маленькой математической аномалии. И это именно аномалия. В конце концов, это противоречит основам логики. Как может сумма натуральных чисел равняться не только отрицательной величине, но ещё и отрицательной дроби? Что за дребедень?

Прежде чем начать: мне указали на то, что в данной статье слово «сумма» я использую в нетрадиционном смысле, ибо все ряды, о которых я говорю, не стремятся естественным образом к определённому числу. Так что речь идёт о другом типе сумм, а именно о суммировании методом Чезаро. Для всех, кто интересуется математикой: суммирование по Чезаро присваивает значения некоторым бесконечным суммам, которые не сходятся в обычном смысле. Согласно Википедии, «сумма Чезаро определяется как предел последовательности средних арифметических первых n частичных сумм ряда при n, стремящемся к бесконечности». Добавлю, что в данной статье используется понятие счётной бесконечности, то есть идёт речь о таком бесконечном множестве чисел, при котором, имея достаточно времени, можно сосчитать до любого числа множества. Это позволяет мне применять в уравнениях некоторые обычные математические свойства, такие как коммутативность (аксиома, которую я использую на протяжении всей статьи).

Для тех из вас, кто незнаком с рядом, известным как суммирование методом Рамануджана (Сриниваса Рамануджан (Srinivasa Ramanujan) — выдающийся индийский математик), объясняю: такое суммирование означает, что, складывая все натуральные числа, то есть 1, 2, 3, 4 и так далее, вплоть до бесконечности, вы получите результат −1/12. Ага, −0,08333333333.

 

Вы не верите мне? Читайте дальше, и узнаете, как я доказываю это путём доказательства истинности двух одинаково безумных утверждений:

1. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 … = 1/2

2. 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … = 1/4

Прежде всего, расскажу о главном — о волшебном преобразовании, без которого невозможны доказательства двух данных утверждений.

Возьмём ряд A, который представляет собой бесконечное повторение 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1. Я запишу это так:

A = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …

Теперь маленький трюк: вычту А из 1.

1 − A = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …)

Пока всё правильно? Настало время перейти к волшебству. Упростив правую часть уравнения, я получаю кое-что весьма странное:

1 − A = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 …

Не правда ли, что-то такое уже было? Подсказываю: это A. Да, в правой части уравнения оказался ряд, с которого мы начали. Теперь я могу заменить всю правую часть на букву A, немного поупражняться в применении алгебры средней школы — и опля!

1 − А = А

1 − А + А = А + А

1 = 2А

1/2 = А

Эта маленькая прелесть — ряд Гранди, названный в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди (Guido Grandi). Вот и всё, что есть интересного в этом ряде, и, хотя лично для меня он самый замечательный, с ним не связано никаких крутых историй или открытий. Однако именно он позволяет построить доказательство для многих интересных вещей, включая очень важное для квантовой механики и даже для теории струн уравнение. Но об этом чуть позже. А пока перейдём к доказательству утверждения №2: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … = 1/4.

Приступим к делу так же, как и выше. Пусть мы имеем ряд B: В = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 … Теперь с этим можно поиграть. Для начала вычтем B из A. По правилам математики мы получаем следующее:

A − B = (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …) − (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …)

A − B = (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …) − 1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 …

Затем слегка перемешаем элементы, чтобы получился ещё один интересный паттерн.

A − B = (1 − 1) + (−1 + 2) + (1 − 3) + (−1 + 4) + (1 − 5) + (−1 + 6) …

A − B = 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + 5 …

И снова мы пришли к ряду, с которого начали, а поскольку нам уже известно, что A = 1/2, мы, используя основы алгебры, можем завершить доказательство нашего второго умопомрачительного факта.

А − В = В

А = 2В

1/2 = 2B

1/4 = B

Вуаля! У данного уравнения нет эффектного названия, ибо известно оно давно, и за долгие годы многие математики сумели выполнить его доказательство, что, однако не помешало им считать это уравнение парадоксальным. Как бы то ни было, оно будоражило умы учёных и даже помогло Эйлеру более широко подойти к решению «базельской проблемы», а также привело к исследованию важных математических функций, таких как дзета-функция Римана.

А теперь вишенка на торте, которую вы так долго ждали, — гвоздь программы. Первые шаги похожи на те, которые мы делали раньше: возьмём ряд C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 …, а дальше, как вы, возможно, догадались, вычтем C из B.

B − C = (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …) — (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

Поскольку математика по-прежнему безупречна, поменяем некоторые числа местами, чтобы получить кое-что знакомое, но, вероятно, не то, о чём вы подумали.

В − С = (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …) − 1 − 2 − 3 − 4 — 5 − 6 …

В − С = (1 − 1) + (−2 − 2) + (3 − 3) + (−4 − 4) + (5 − 5) + (−6 − 6) …

B − C = 0 − 4 + 0 − 8 + 0 − 12 …

В − С = −4 − 8 − 12 …

Это не то, что вы ожидали, верно? Но сейчас вы не сможете удержаться от возгласа «Вау!», ибо я готов выполнить ещё один, последний трюк, который стоит того, чтобы им восхищаться. Возможно, вы заметили, что все числа с правой стороны кратны числу −4. Следовательно, мы можем вынести этот постоянный множитель за скобки — и вновь прийти к тому, с чего начали!

В − С = −4 (1 + 2 + 3) …

B − C = −4C

B = −3C

А поскольку, как мы выяснили ранее, B = 1/4, получаем наш волшебный результат:

1/4 = −3C

1/−12 = C, или C = −1/12.

Теперь объясню, почему этот результат важен. Во-первых, он используется в теории струн. Увы, в её первоначальной версии (в теории бозонных струн), а не в версии Стивена Хокинга (Stephen Hawking). К сожалению, теория бозонных струн несколько устарела, и сегодня учёные предпочитают суперсимметричную теорию струн, но исходная теория всё ещё используется для понимания суперструн, которые являются неотъемлемыми элементами вышеупомянутой обновлённой теории струн.

Во-вторых, суммирование по методу Рамануджана оказало большое влияние на развитие общей физики, особенно при осмыслении явления, известного как эффект Казимира. Хендрик Казимир (Hendrik Casimir) предсказал, что две незаряженные проводящие пластины, помещённые в вакуум, будут притягиваться друг к другу из-за присутствия виртуальных частиц, порождаемых квантовыми флуктуациями. Моделируя количество энергии между пластинами, Казимир использовал то самое уравнение, истинность которого мы только что доказали. Вот почему этот результат такой важный.

Итак, вы познакомились с открытым в начале 1900-х годов суммированием по методу Рамануджана, которое, хоть и прошло сто лет, всё ещё играет важную роль при решении проблем во многих областях физики и которое, если заключать пари с несведущими людьми, всё ещё может приносить победу.

P.S. Если у вас не пропал интерес к безумному уравнению Рамануджана и вы хотите узнать больше, то у меня есть для вас ссылка на беседу с двумя физиками. Они пытаются объяснить данное уравнение и показать его полезность и значимость. Это красиво, коротко и очень интересно.

Из серии рассказов на математические темы «Канторовский рай» («Cantor’s Paradise»).