В этом году мы благодарим за пространство.
Даже в научном языке у слова «пространство» имеется несколько значений. В плане наблюдаемой реальности оно может означать космос — пределы Вселенной, место, где находятся звёзды и другие планеты, и где мы можем совершать космические полёты. В гораздо более абстрактном мире математики термин «пространство» используют для обозначения какого-то множества с дополнительной структурой — такого, как пространство Гильберта или пространство всех карт (отображений) между двумя многообразиями. В данном случае нас интересует промежуточное значение слова «пространство» — трёхмерное многообразие, служащее местопребыванием физических объектов, по крайней мере, в наблюдаемом нами мире.
Последняя оговорка связана с наличием ряда осложняющих дело обстоятельств. Возможно, что помимо трёх наблюдаемых нами измерений пространство имеет и другие. Дополнительные измерения могут ускользать от нашего взора, свернувшись в чрезвычайно крошечные шарики (или их обобщения). Или, напротив, мы не видим эти измерения из-за того, что известные нам частицы и силы ограничены трёхмерной браной, встроенной во вселенную большего размера. С другой стороны, существуют предположения о том, что в квантовых теориях гравитации работает голографический принцип, согласно которому N-мерная вселенная возникает как проекция информации, имеющей N−1 измерений. А если не лезть в теоретические дебри, то благодаря Эйнштейну и Минковскому мы давно усвоили, что трёхмерное пространство лучше рассматривать как часть четырёхмерного пространства-времени.
Давайте оставим всё это в стороне. Наш повседневный мир прекрасно смоделирован как материя, распределённая в трёхмерном пространстве и эволюционирующая с течением времени. Это то, за что следует быть благодарным! Но попутно мы можем вопрошать о том, почему получилось именно так.
Я не имею в виду вопрос «Почему пространство трёхмерно?», хотя и он интересен. Я имею в виду другое: почему вообще существует нечто, называемое «пространством»? Недавно я рассматривал этот вопрос в рамках неофициального семинара, проведённого мной в Колумбийском университете, и я затронул его в своей книге «Нечто глубоко скрытое» (Something Deeply Hidden), и он явно перекликается с тем вопросом, который недавно задал в «Твиттере» Майкл Нильсен (Michael Nielsen): «Почему F = ma?»
По-видимому, пространство — это не фундаментальная основа, а то, что возникло, и, чтобы дать исчерпывающий ответ на вопрос, почему оно существует, по-видимому, нужно использовать квантовую механику и, в частности, квантовую теорию гравитации. Поставим вопрос правильно: «Почему волновая функция Вселенной допускает описание, представляющее собой набор разветвляющихся полуклассических миров, каждый из которых содержит объекты, эволюционирующие в трёхмерном пространстве?» Вот над чем мы работаем!
Однако вместо ответа на данный вопрос я, дабы выразить свою благодарность, хочу всего лишь обратить внимание на следующее обстоятельство: отнюдь не очевидно, что известное нам пространство должно существовать — будь даже правильной теорией нашего мира классическая механика.
Создатель классической механики Ньютон считал пространство абсолютным и фундаментальным. В его онтологии, говоря философским языком, фигурируют объекты, находящиеся в пространстве и эволюционирующие с течением времени. У каждого объекта есть траектория, которая в каждый момент времени выступает как его положение в пространстве. Такие величины, как скорость и ускорение, важны, но не являются фундаментальными: их вычисляют, исходя из положения в пространстве, — как, соответственно, первую и вторую производные по времени.
Но классическую механику можно создать и по-другому, причём в некотором смысле она становится более основательной и мощной. Этот альтернативный вариант — гамильтонова механика, где фундаментальная переменная — не положение, а комбинация положения и импульса, которые вместе описывают фазовое пространство системы. Состояние системы в любой момент времени задаётся точкой в фазовом пространстве, а динамические уравнения системы получают из функции фазового пространства H (x, p), которую удачно окрестили гамильтонианом.
Такой подход может показаться несколько странным, и у студентов, когда их знакомят с гамильтоновой механикой, нередко её основная идея вызывает недоумение. Согласно стандартному курсу физики, импульс — это всего лишь масса, умноженная на скорость. Раз так, то он, по-видимому, — категория производная, а не фундаментальная. С какой стати гамильтонова механика ставит импульс на одну доску с положением, если он зависит от последнего?
Дело в том, что в гамильтоновой механике импульс не определяется как скорость, умноженная на массу. Он получает тот же статус, что и положение, благодаря уравнению движения — по крайней мере, в том случае, когда гамильтониан принимает правильную форму. Но в принципе импульс — независимая переменная.
Это очень тонкая специфика гамильтоновой механики! Здесь говорится о том, что состояние системы в любой момент времени характеризуют две величины: её положение и её импульс. При этом никакие производные по времени или траектории движения не используются; положение и импульс — совершенно разные вещи. Вдобавок есть два уравнения, объясняющих, как положение и импульс изменяются со временем. Производная положения — это скорость, и, согласно одному из уравнений, она, как и у Ньютона, равняется импульсу, делённому на массу. Согласно другому уравнению, производная импульса равняется силе. Применяя эти уравнения, мы получаем, как и в ньютоновской механике, что сила равняется массе, умноженной на ускорение (производную скорости).
Таким образом, с точки зрения гамильтоновой механики, положения и импульсы равноправны. Почему же тогда, находясь в реальном мире, мы представляем себе, что «живём в пространстве положений»? Почему не в пространстве импульсов?
Насколько я знаю, полного и точного ответа на эти вопросы не было и нет. Однако нам таки удалось кое-что смекнуть, и основной принцип мы поняли — пусть даже некоторые детали остаются неясными.
О каком принципе идёт речь? Мы можем разделить мир на подсистемы, которые взаимодействуют друг с другом в определённых обстоятельствах. И вот к чему сводятся эти обстоятельства: «когда они соседствуют в пространстве». Другими словами, взаимодействия локальны в пространстве. Они не являются локальными в импульсе. Когда два бильярдных шара попадают в одно и то же место, они сталкиваются друг с другом, но когда у них одинаковый импульс или что-то в этом роде, ничего особенного не происходит.
В конечном итоге объяснение сводится к тому факту, что гамильтониан реального мира не является произвольной функцией положений и импульсов; он представляет собой очень специфическую функцию. Конечным выражением местности, которую он описывает, является теория поля: пространство заполнено полями, и то, что происходит с полем в данной точке пространства, напрямую и никак иначе зависит от других полей, действующих именно в этой точке, а не где-то ещё. И это заложено в гамильтониане Вселенной, в частности таким образом, что его можно записать как интеграл по трёхмерному пространству от функции местоположения (local function), именуемой «плотностью гамильтониана»:
H = ∫ H (φ, π) d3 x,
где φ — поле (которое функционирует здесь как «координата»), а π — соответствующий ему импульс.
Это помогает ответить на вопрос «Почему существует пространство?» Ответ такой: «Потому что пространство — это набор переменных, относительно которых взаимодействия являются локальными». Что, конечно, вызывает ещё один вопрос: почему взаимодействия являются локальными относительно чего-то? Почему фундаментальные степени свободы природы образуют именно эту весьма специфическую структуру, а не какую-то другую?
У нас и на этот счёт есть кое-какие соображения. Одна из моих любимых научных работ, опубликованных в последнее время, — «Локальность из спектра» (Locality From the Spectrum) Джордана Котлера (Jordan Cotler), Джеффри Пенингтона (Geoffrey Penington) и Дэниэла Ренарда (Daniel Ranard). Под «спектром» они понимают набор собственных значений энергии квантового гамильтониана, то есть возможные значения энергии, которые теоретически могут иметь определённые энергетические состояния. Игра, в которую они играют, состоит в том, чтобы разделить гильбертово пространство квантовых состояний на подсистемы, а затем задаться вопросом, совместим ли определённый список значений энергии с «локальными» взаимодействиями подсистем. Оказалось, что большинство гамильтонианов не совместимо с локальностью в любом смысле этого слова, а для тех, где локальность возможна, деление на локальные подсистемы, в сущности, уникально. Таким образом, локальность может попросту вытекать из определённых свойств управляющего Вселенной квантового гамильтониана.
Прекрасно, но почему именно этот гамильтониан? Кто знает! Сейчас это за пределами нашего понимания. Впрочем, порассуждать на данную тему интересно. А пока давайте будем благодарны за то, что фундаментальные законы физики позволяют нам описывать наш повседневный мир как совокупность предметов, распределённых в пространстве. Если бы законы физики не позволяли нам этого, как бы мы находили ответы на интересующие нас вопросы?
