Слово «противоположный» буквально означает «лежащий напротив». Однако одно дело разговорный язык и совсем другое — точный язык логики.
Так вот, в точном языке единственный способ ввести понятие «противоположность» так, чтобы оно не разрушало имеющееся в разговорном языке ассоциации:
Противоположный объект — лежащий по другую сторону от некоторой точки некоторого параметрического пространства на некоторой прямой, проходящей через эту точку, на том же расстоянии от этой точки, что и тот объект, которому он противоположен.
Из такого определения следует, что для использования такого понятия, нам нужны как минимум,
- Пространство с координатами, зависящими от некоторых интересующих нас параметров,
- Введённая на этом пространстве мера — то есть способ измерения расстояний между точками пространства,
- Точка симметрии, относительно которой будет замеряться расстояние и направление.
«Противоположности» противоположны не абсолютно, а относительно некоторой точки — «точки симметрии». Если взять другую точку, то «противоположности» относительно другой точки уже не будут таковыми относительно этой. А какие-то другие вещи, не исключено, ими станут.
Однако всегда можно спросить: а почему именно так? Нет ли способа попроще? Ну, как в разговорном языке: большой — маленький, белый — чёрный, толстый — худой? Зачем огород городить?
Собственно, огород приходится городить потому, что разговорный язык допускает вольности и множественные трактовки высказываний, а в точном языке, подобном формальной логике или математике, трактовка должна быть всегда одна — иначе результаты рассуждений на этом языке будут столь же размыты, как на разговорном, а истинность каждого выведенного из предпосылок суждения будет весьма сомнительной. А то и просто не будет истинностью.
И сейчас я покажу, где в этом огороде зарыты грабли. Много граблей.
Но для начала надо бы отметить, что граблей там много. Кроме ассоциаций из разговорного языка, есть ещё, как минимум, неудачно выбранные термины, встречающиеся в старых учебниках и статьях по логике. Да и в новых тоже иногда встречающиеся.
Так, например, возьмём учебник по логике Виноградова, 1954 года издания.
В нём для взаимоотношений пары суждений вводятся два термина: «противоречивость» и «противоположность».
Смысл этих терминов в том, что и «противоречащие», и «противоположные» суждения не могут быть одновременно истинными. Однако «противоречащие» суждения, в отличие от «противоположных», вдобавок ещё и не могут быть одновременно ложными.
Правда, вот это вот «вдобавок», там сформулировано весьма невнятно: «противоречащие» и «противоположные» явления в учебнике считаются разными группами, а не первое — подгруппой второго. А потому возникает ощущение, будто бы «противоречивые суждения» не относятся к «противоположным».
Не факт, что автор считал именно так, однако так вполне может показаться читателю.
Ну да ладно, судя по определению, «противоречащими суждениями» всегда являются суждение и его логическое отрицание. И только они.
Что, впрочем, подтверждается множеством примеров из самого учебника:
- Натрий легче воды.
- Натрий не легче воды.
Второе суждение — логическое отрицание первого. Они действительно не могут быть одновременно истинными и одновременно ложными.
- Все ученики нашего класса решили заданные на дом задачи по алгебре.
- Некоторые ученики нашего класса не решили заданные на дом задачи по алгебре.
Второе суждение — логическое отрицание первого.
Ну и так далее.
С другой стороны, «противоположные» в данной терминологии суждения не являются логическими отрицаниями друг друга.
Это что-то вроде (снова примеры из книги):
- Эта бумага белая;
- Эта бумага чёрная.
Бумага, правда, не может быть чёрной и белой одновременно. Однако если бумага не белая, это не означает, что она — чёрная. Она может быть, например, синей.
Это кажется интуитивно верным, но, к сожалению, тут мы уже незаметно перешли от формальной логики к бытовым понятиям и разговорному языку.
Дело в том, что это наш бытовой опыт говорит нам, что бумага бывает разных цветов. Однако в формальной логике нельзя использовать бытовой опыт: нужны соответствующие посылки. Некая формальная фиксация «правил игры».
А потому без посылки «бумага бывает всех цветов», невозможно сказать, следует или не следует из того, что бумага не белая, то, что она — чёрная. Ведь если ввести посылку «бывает только белая или чёрная бумага», то уже-таки будет следовать.
Это может показаться «оторванным от реальности», однако формальная логика, она не про реальность, она про взаимоотношения между суждениями. И каждый её вывод звучит не как «в реальности верно утверждение Икс», а как «если верны предпосылки — утверждения А, Б, Ц и т. д., — то в этом случае верно и утверждение Икс тоже».
Причём в реальности примеры полезности такого подхода сплошь и рядом прослеживаются. Да, сейчас мы знаем, что бумага бывает разных цветов, но мало ли, в какой-то средневековой стране умели делать только белую и чёрную. Или в каком-то офисе есть только белая и чёрная. Рассуждения для таких случаев — с соответствующей предпосылкой — будут отличаться от рассуждений «для всего современного мира» с аналогичной предпосылкой, соответствующей ему. Хотя остальные предпосылки вполне могут остаться теми же. Однако выводы уже поменяются.
Такую неопределённость с бумагой можно было бы списать на «всего лишь пример». Однако за ним на самом деле стоит закономерность: бытовые понятия и языковые ассоциации чисто машинально переносятся на логику. И это происходит довольно часто. Даже прошаренный в логике может на каком-то этапе рассуждений машинально воспользоваться некоторым суждением только лишь потому, что «это же всем известно». Хотя данного суждения не было в системе базовых утверждений — предпосылок, и от его добавления туда все выводы сразу же приобретут необходимую добавку «если верно вот это вот суждение»: его нельзя просто на каком-то этапе использовать, а потом забыть.
Ну да ладно, предположим, это правда был только пример, и на самом деле автор на бытовые суждения не перешёл.
Есть ещё пример:
- Все ученики в нашей группе — отличники;
- Ни один ученик в нашей группе не отличник.
Эти суждения тоже не могут быть одновременно истинными, но вполне могут быть одновременно ложными: ведь возможно, что в группе есть и отличники и не отличники.
А теперь, внимание, происходит фокус.
Такие вот суждения — «противоположные». Этому термину дано чёткое определение, всё отлично. Однако читатель совершенно машинально начинает думать, будто бы рассматриваемые в двух противоположных суждениях множества (ну там, «белые объекты» и «чёрные объекты») тоже являются «противоположностями».
Хотя из определения термина это вообще никак не следует.
Вообще Виноградов «противоположности» не риторически упоминает единственный раз и в этот же раз даёт им совершенно гениальное определение:
ОТНОШЕНИЕ ПРОТИВОПОЛОЖНОСТИ. В отношении противоположности находятся такие два понятия, которые по своему содержанию противоположны друг другу, но оба входят в объём одного и того же родового понятия.
Например: «чёрный цвет» и «белый цвет» (общий их род — «цвет»). Другие примеры: «храбрость» и «трусость», «подъём» и «спуск».
«В отношение противоположности входит то, что противоположно по своему содержанию». Фактически, это определение термина через него же самого. Ну как так вообще можно-то — в учебнике-то про логику?
Вполне понятно, что тут автор просто машинально соскочил с формального на разговорный язык: типа, в разговорном языке люди же знают, что такое «противоположны друг другу», и вот через это бытовое знание мы и введём новый термин, блин, точной науки.
Впрочем, введённым термином, как говорилось выше, он сам больше не пользуется.
Однако для читателя, который только ещё знакомится с логикой, а потому, скорее всего, не имеет хорошо структурированного мышления, эта штука подкрепляет более раннюю догадку: «в противоположных суждениях речь всегда идёт о противоположностях».
Хотя нет, это не так. Не вообще во вселенском абсолюте, а даже прямо в этом учебнике. Из данных в нём определений это никак не следует. И довольно легко привести вышеозначенной догадке контрпример (чем — по правилам логики — опровергнуть утверждение о всеобщности).
Пусть мы тут опираемся на «бытовой смысл» слова «противоположны», Ok. Опросим множество первых попавшихся носителей языка, опросим лингвистов, опросим писателей: являются ли слова «большой» и «гигантский» — противоположностями? Подавляющее большинство ответит: «нет». Вот «большой» и «маленький» — да, но «большой» и «гигантский» не антонимы, а явно лежат по одну сторону баррикад: они как бы просто сравнительные степени одного и того же — большого размера.
Если мы введём три группы — «маленькие предметы», «большие предметы» и «гигантские предметы», — задав для каждой группы непересекающиеся диапазоны размеров, то утверждения:
- Вон тот грузовик — большой;
- Вон тот грузовик — гигантский;
будут подходить под определение «противоположных суждений», ровно так же, как под них бы подошли «большой» и «маленький».
Однако, согласно нашему гипотетическому мини-исследованию разговорного языка, «большой» и «гигантский» не противоположности.
То есть не все противоположные суждения — суждения о противоположностях. Терминология просто загнала читателя в языковую ловушку.
Впрочем, можно было бы не ходить так далеко за примером, ведь есть ещё более простой:
- Этот предмет — голубой;
- Этот предмет — синий.
Много ли людей сочтут голубой цвет «противоположностью» синего? Думаю, примерно ноль. Однако под определение «противоположных суждений» данные два вполне подходят.
Быть может, это у нас такое хитрое определение термина «противоположности» — не соответствующее разговорному языку. Да, это странно, что автор почему-то ссылался на разговорный язык, когда давал определение, а оно ему после этого не соответствует, но быть может? Быть может, «Противоположности» — это то, о чём речь идёт в «противоположных суждениях».
Дальше он предлагает упражнение
Укажите противоположные понятия для следующих понятий: «пролетариат», «суша», «свет», «северный полюс», «война», «свобода», «шум», «приход», «красивый».
Ok, если наше предположение о несоответствии разговорному языку верно, и «противоположности» — это просто то, о чём идёт речь в «противоположных суждениях», то для «Северного полюса» противоположностью будет «Камчатка», для «войны» — «дискотека», для «шума» — «симфония Бетховена», для «пролетариата» — «рабы».
Да-да, мы понимаем, на какие именно «противоположные понятия» намекал автор. Однако суждения:
- Я сейчас на Северном полюсе;
- Я сейчас на Камчатке;
подходят под определения «противоположных». А потому, если верно то, что в противоположных суждениях всегда идёт речь о противоположностях, то «Камчатка» и «Северный полюс» — противоположности. А также «война» и «дискотека» или «пролетариат» и «рабы».
Предполагаемые вами «Южный полюс», «мир», «тишина» и «буржуазия» тоже являются понятиями, «противоположными» означенным, но, как легко видеть, далеко не только они.
Вообще говоря, «противоположностью множества А» при таком определении оказывается вообще любое множество (и любой его элемент), не пересекающееся с А и не дополняющее его до полного множества.
Вдобавок «не-противоположностью» пролетариата — оказывается «не-пролетариат»: ведь это множество, «не-пролетариат», как раз дополняет «пролетариат» до полного множества, а таковые суждения следует называть «противоречащими».
И «небелый» — не «противоположность» для «белого».
Как вам такая интуитивно понятная терминология? «Небелый» — не противоположность «белого», а вот «синий» — противоположность?
И это ещё только начало сей прекрасной песни. Вернёмся снова к группировке по размерам.
«Маленький» — это противоположность «большого»? Ok, предположим. А «маленький» и «гигантский»? Видимо, тоже противоположны.
Берём «большие объекты», их противоположность — «маленькие». Перемещаемся туда. Теперь то же самое проделываем для «маленьких». Куда мы попадём? В «большие»? А почему не в «гигантские»? Операция ведь не может «запоминать», что там было в начале, чтобы приводить нас именно к нему.
Если и «большие» и «гигантские» объекты — противоположность «маленьких», то мы не можем взять для «маленьких» в качестве «противоположных» только «большие» или только «гигантские». Операция не однозначна: она ведёт сразу в две эти группы. Поэтому её результатом должно быть логическое объединение этих групп.
Противоположность «маленьких объектов», таким образом, — объединение множеств «больших объектов» или «гигантских объектов».
Но почему «большие» и «гигантские» не противоположны? Исключительно потому, что в нашем разговорном языке вот такие ассоциации? Если мы выберем другое слово для ровно той же группы, введённой по тому же критерию, то они тут же станут «противоположными»? Нет, научные и логические выводы не могут зависеть просто от того слова, которым что-то называется.
Так нельзя: подходят под определение — противоположны, значит. А как называются, без разницы.
Однако по вышеприведённому рассуждению, ввиду того, что от бытового языка логическое понятие зависеть не может, противоположность «больших объектов» — объединение множеств «маленькие объекты» и «гигантские объекты».
«Противоположностью» множества оказалось логическое объединение множеств, лежащих на шкале размера по обе стороны от этого множества. Как вам такая «интуитивная понятность»?
Но подождите, это ещё не всё.
Если первый объект противоположен второму, то второй, видимо, должен быть противоположен первому. Выбранное нами определение говорит, что — да, так и есть.
Теперь вопрос: если два объекта «противоположны», то должно ли двойное применение операции «взять лежащее напротив» вернуть нас в исходную точку?
Противоположность первого объекта — второй, второго — первый. Тогда противоположность противоположности первого объекта — первый объект, нет?
Однако, внимание, «маленькие объекты» противоположность «больших объектов». Но, как мы выяснили, не только они — ещё и «гигантские объекты». Поэтому вышеприведённая закономерность не выполняется: из «больших объектов», взяв их противоположность, мы можем перейти в «маленькие», а взяв противоположность «маленьких» — в «гигантские». Операция не взаимно однозначна: её двойное применение может не вернуть нас в исходную точку.
Интуитивно понятно, да?
Но теперь самая крышесносящая особенность такой «противоположности», опирающаяся на различие «противоречащих» и «противоположных» множеств. Её понять несколько тяжелее, чем всё предыдущее, но, если её всё-таки понять, то восторг гарантирован.
Смотрите. В нашем примере объединение множеств «маленькие объекты», «большие объекты» и «гигантские объекты» составляет полное множество — мы ведь больше никаких множеств не ввели, а потому любой рассматриваемый нами объект обязательно должен попадать в одно из трёх.
«Большие объекты» и «гигантские объекты» — противоположности «маленьких объектов». То есть любая пара суждений:
Объект А — маленький;
Объект А — большой;
и:
Объект А — маленький;
Объект А — гигантский;
будет парой противоположных суждений.
Однако пара суждений:
Объект А — маленький;
Объект А — большой или гигантский;
уже не будет парой противоположных суждений, поскольку эти суждения дополняют друг друга до полного множества и должны считаться «противоречащими».
Из чего следует, что объединение множеств «большой» и «гигантский» не является противоположностью множества «маленький».
Каждое из множеств является, а их объединение — нет.
А мы чуть выше выяснили, что да. Определения терминов у нас, оказывается, не только контринтуитивны до глубокого цинизма, но ещё и внутренне противоречивы.
Правда, зашибись?
У множества А, скажем, 10 других противоположных множеств. Мы берём и объединяем какие-то два. Всё путём, их объединение — всё ещё противоположность множества А. Добавляем к ним третье — противоположность. Четвёртое — противоположность. И так до девяти. Но как только добавили десятое — бабах, не противоположность.
Если теперь взять объект из какого-то множества, отличного от А, то он будет противоположен любому объекту из множества А.
Однако если точно тот же объект посчитать принадлежащим к объединению всех множеств, отличных от А (это ведь действительно так: такое множество включает в себя каждое, его составляющее), то он не противоположен объектам из множества А.
Это ли не прекрасно? Один и тот же объект является и не является противоположностью другого объекта. И не по разным своим свойствам или в разные моменты времени, а по одному и тому же в один и тот же момент времени. Это ли не настоящая, хардкорная диалектика?
Иными словами, данные таким образом определения приводят минимум к двум противоречиям и — в довесок — к яростной неинтуитивности своих значений.
Собственно, именно поэтому, если понятие «противоположность» — для объектов и их множеств, а не для суждений — и вводится, то только в том виде, в котором оно дано в начале статьи:
Противоположный объект — лежащий по другую сторону от некоторой точки некоторого параметрического пространства на некоторой прямой, проходящей через эту точку, на том же расстоянии от этой точки, что и тот объект, которому он противоположен.
Да, можно сделать над собой усилие и ввести этот термин так, как рассматривалось выше по тексту, а потом внимательно следить, чтобы значение термина рассматривалось исключительно в таком смысле и ни в каком ином. Однако практика показывает, что в этом случае с неизбежностью на введённые таким образом «противоположности» начинают переноситься закономерности, верные только для «противоположных в параметрическом пространстве относительно точки» объектов.
Просто потому, что ассоциации с бытовым языком склоняют к этому.
Ну а потом, организовав себе таким способом кучу неочевидных противоречий, некоторые заключают: «ой, с логикой что-то не так, нужна другая». Давайте, типа, сделаем такую, где у нас единство противоположностей и так далее.
Но нет, с логикой что-то стало не так, исключительно потому, что вы нарушили её правила: введя в неё невнятные, внутренне противоречивые термины и смешав их определения с ассоциациями из разговорного языка.
Контринтуитивные названия понятий действительно сильно осложняют понимание. Но это не из-за самой логики, а из-за используемых вами слов.
Чтобы же избежать ненужных языковых ассоциаций, два суждения, которые не могут быть одновременно истинными, сейчас называются не «противоположными», а «несовместимыми». Ясное дело, на «несовместимость» гораздо тяжелее машинально перенести свойства, в бытовом языке характерные для «противоположности».
Если два суждения, вдобавок, не могут быть одновременно ложными, их действительно называют «противоречивыми» или «контрадикторными».
Однако они при этом являются подмножеством «несовместимых» суждений — в ином случае мы поймаем минимум два вышеописанных внутренних противоречия.
Впрочем, на практике несколько удобнее, оказывается, называть «противоречивыми» не просто те два суждения, которые являются прямыми отрицаниями друг друга, а любые два или более, из которых можно вывести одновременно А и не-А.
Поэтому, таки да, дорогие друзья, если вы, пользуясь ошибочным предположением «в старых текстах и теориях содержится больше мудрости, чем в современных, а потому надо начать с них», читаете эти самые «старые тексты», то вам надо постоянно иметь в виду, что «мудрые» предки закопали в огороде мегатонны граблей, которые потом очень долго разминировали их «глупые и неблагодарные» потомки. И любой такой «старый текст» потенциально вам обеспечит захватывающую прогулку по этим граблям.
Причём, это распространяется не только на девятнадцатый век и ранее, а и на двадцатый тоже: ряд вещей, которые считались верными даже во второй половине двадцатого века, оказались не верны. Не говоря уже про первую его половину.
Например, в начале двадцатого века всё ещё считалось, что наша галактика — это и есть вся вселенная. Да, вот так, про существование других галактик тогда не знали. Хотя некоторые из них даже можно увидеть невооружённым глазом.
«Астрономия — всё та же». Ага.
С логикой — аналогично. Хотя Аристотеля и называют «её отцом», его логика сильно отличалась от современной.
И в этом заключено вовсе не «кому тогда верить?!», а самый что ни на есть научный метод: абсолютно любая теория может оказаться ошибочной. Или, по крайней мере, содержать ошибки. А потому не надо думать, что у «умных предков» всё абсолютно правильно в каждом слове их текстов.