Дорогой читатель, редакция интернет-издания «XX2 век» попросила меня прокомментировать статью Лекса Кравецкого «Диагональный аргумент и бесконечные множества». Поскольку данная статья касается многих предметов, я не буду комментировать все детали представленных в статье рассуждений, а дам свою оценку основным тезисам статьи и выскажу несколько замечаний.
1. Автор утверждает, что математики мыслят множество, как список элементов, порядок перечисления которых можно игнорировать. Это не совсем так. Множество мыслится, как некая совокупность элементов. В общем случае, не всякая совокупность может быть представлена в виде перечня, списка (для специалистов отмечу, что я помню о теореме Цермело, следующей из аксиомы выбора, и в дальнейшем постараюсь прояснить данное замечание).
Автор разбирает различные интерпретации понятия бесконечного множества и обращается к важному различию, обсуждение которого мы находим уже у Аристотеля, различию между понятиями потенциально и актуально бесконечного. Потенциально бесконечное мыслится как некий процесс, который в каждой своей фазе конечен, но при этом неограничен. Примером такого рода бесконечности является процесс перечисления по порядку натуральных чисел. Пример бесконечности другого рода, бесконечности, которая называется актуальной, можно получить, если рассмотреть всю совокупность натуральных чисел целиком. Отмечу, что уже в античности, в частности Аристотелем, утверждалось, что актуально бесконечное не дано ни чувству, ни уму, более того, что понятие актуально бесконечного противоречиво. К этой последней позиции присоединятся автор обсуждаемой статьи.
Прежде чем перейти к вопросу о том, можно ли непротиворечиво рассуждать об актуально бесконечных множествах, я отмечу, что понятие потенциально бесконечного множества (так, как его понимает автор) очень близко к существующему в математике понятию свободно становящейся последовательности. Данное понятие возникло в первой половине прошлого века в рамках интуиционистского подхода к основаниям математики. Вот цитата из книги В. Е. Плиско и В. Х. Хаханяна «Интуиционистская логика» (Изд-во при мех.-мат. ф-те МГУ, 2009, стр. 6—7):
«Объектами исследования в интуиционистской математике являются, прежде всего, конструктивные объекты (например, натуральные и рациональные числа) и заданные подходящим образом конечные совокупности конструктивных объектов. Своеобразным объектом исследования являются также так называемые свободно становящиеся (или бесконечно продолжающиеся) последовательности. Такую последовательность можно представлять себе как эффективно заданную функцию, определённую на натуральных числах и принимающую в качестве значений конструктивные объекты. При этом эффективность в интуиционизме никак не уточняется и может пониматься довольно широко. Так, свободно становящуюся последовательность можно задавать алгоритмом, а можно каждое последующее её значение определять бросанием монеты. Однако в любом случае мы должны учитывать, что в каждый момент нам известен лишь конечный начальный отрезок последовательности, и в своих рассуждениях мы не имеем права считать, что нам дана вся последовательность в целом. В этом проявляется отказ от использования абстракции актуальной бесконечности, состоящей в отвлечении от принципиальной незавершаемости неограниченно продолжаемых процессов и рассмотрении воображаемых результатов этих процессов как актуальных, завершённых объектов. Эта абстракция лежит в основе теоретико-множественного построения математики. Вместо неё в интуиционистской математике используется более скромная абстракция потенциальной осуществимости, состоящая в идеализации, допускающей неограниченное продолжение процесса получения значений последовательности».
На данный момент в области оснований математики существует интуиционистская теория множеств, в рамках которой можно рассуждать, как о множествах, так, в частности, и о свободно становящихся последовательностях, но, конечно, это разные понятия (добавлю для специалистов, что в этом контексте о множестве нельзя думать как о списке, поскольку выводимость в интуиционистской теории множеств теоремы Цермело влечёт противоречивость стандартной аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля).
2. Перейдём к следующему тезису статьи: построить теорию «актуальной бесконечности» без противоречий невозможно в принципе. В XIX в., благодаря усилиям математиков Б. Больцано, Б. Римана, Р. Дедекинда и в особенности Г. Кантора, была предложена математическая теория, позволяющая рассуждать о произвольных, даже актуально бесконечных, множествах. В данный момент эта теория называется «наивной», поскольку вскоре после её создания в ней были обнаружены противоречия. Однако в первой четверти XX в. Э. Цермело и А. Френкель дали новый вариант теории множеств, сформулировав точную систему аксиом для данной области математики. В настоящий момент аксиоматическая теория множеств Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, система ZFC, представляет собой базовую систему в области оснований математики и наиболее распространённый среди математиков вариант теории множеств. Главное отличие ZFC от «наивной» теории множеств состоит в том, что она не содержит принципов, позволяющих утверждать существования таких объектов, как множество всех множеств или множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента, и т. п. Благодаря этому ZFC избегает всех известных для «наивной» теории множеств противоречий. Более того, в настоящее время не известно никаких противоречий в теории ZFC.
В рамках ZFC можно дать строгие определения таких понятий как натуральное число, конечное множество, бесконечное множество, множество натуральных чисел, множество действительных чисел и т. д. Также, следуя Кантору, можно ввести понятие мощности, которое обобщает понятие «количество элементов» на случай произвольных множеств. Какую же картину бесконечных множеств даёт теория ZFC? В ней можно доказать, что два множества будут иметь одинаковую мощность, если и только если между их элементами существует взаимооднозначное соответствие. Пример такого соответствия (между натуральными и рациональными числами) можно найти в обсуждаемой статье. Также оказывается, что любые два множества сравнимы по мощности: они либо имеют одинаковую мощность, либо одно из них по мощности строго превосходит другое. Кроме того, бывают бесконечные множества разной мощности. Так диагональный аргумент Кантора показывает, что множество натуральных чисел по мощности строго меньше множества действительных чисел.
В разбираемой статье автор пытается применить диагональный аргумент, чтобы показать, что множество натуральных чисел неравномощно самому себе. Однако в рамках теории ZFC диагональная последовательность цифр, которая строится в статье, действительно не даёт натурального числа. Доказательство автора не проходит.
Отмечу, что интуиции автора по поводу «натуральных чисел с бесконечным количеством знаков», по моему мнению, имеют в математике некоторые соответствия. Они напоминают мне конструкции кольца m-адических чисел, различные нестандартные модели арифметики, ультрастепени натурального ряда и т. п., но обсуждение данных понятий выходит за рамки моего комментария.
3. По моему впечатлению, философская позиция автора близка к конструктивным подходам в области оснований математики. Ниже я даю пример корректного применения диагонального аргумента в ситуации, когда мы работаем с конструктивными объектами.
Зафиксируем какой-то из обычных языков программирования. Назовём последовательность нулей и единиц вычислимой, если существует программа на выбранном языке, которая при подаче ей на вход натурального числа останавливается и выдаёт член последовательности с заданным номером. Что можно сказать про множество C всех программ, задающих вычислимые последовательности? Можно ли алгоритмически выстроить элементы множества C в последовательность (возможно с повторениями)? Другими словами, существует ли программа, которая при подаче ей на вход натурального числа останавливается и выдаёт текст программы из множества C таким образом, чтобы всякий элемент множества C был получен на каком-то входе?
Допустим такая программа существует, обозначим её символом E. Опишем следующий алгоритм: дано натуральное число k; запустим программу E на входе k и получим значение E(k), являющееся текстом программы из множества C; запустим программу E(k) на входе k и получим значение l; выдаём 1-l. Данный алгоритм можно реализовать на любом из стандартных языков программирования. Реализовав его на выбранном нами языке, получим программу D, задающую некоторую вычислимую последовательность нулей и единиц. Тогда D является элементом множества C. Следовательно, существует натуральное число k такое, что D=E(k). Однако по определению программы D результат её исполнения на входе k не может совпадать с результатом исполнения программы E(k) на входе k. Противоречие.
С помощью диагонального аргумента мы доказали, что множество C нельзя представить в виде списка, задаваемого какой-либо программой. Иначе говоря, не существует алгоритма, который позволил бы перечислить C.
4. Автор верно замечает, что неаккуратная работа с понятием предела может приводить к абсурдным выводам. Однако в современном математическом анализе существует строгое определение для данного понятия, позволяющее избежать противоречий. Запись о том, что предел последовательности равен бесконечности, понимается не как утверждение о равенстве двух величин, а как сокращение для утверждения: с какого-то момента все элементы последовательности становятся больше любого наперёд заданного действительного числа.
Я не буду комментировать рассуждения автора по поводу апории Зенона. Известные мне решения данного парадокса представляются неудовлетворительными. Отмечу, что наряду со стандартным подходом в области математического анализа существуют и другие: нестандартный анализ по Робинсону, интуиционистский анализ, различные версии конструктивного анализа, современная теория моделей больших конечных структур.