Разработана методология выбора лучшего подхода, с помощью которого специалисты в области нелинейной динамики могут оценить степень хаотичности систем.
Один из таких подходов — обобщённый метод Бенеттина — авторы выбрали в качестве эталона и сравнивали с ним остальные численные методы. Построенная методология позволит подбирать наилучший способ анализа показателей Ляпунова, определяющих хаотичность для конкретной задачи.
Результаты исследования, поддержанного грантом Российского научного фонда (РНФ), опубликованы в журнале Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation.
Теория хаоса применяется в очень разных областях науки: от математики и физики до медицины, истории и экономики. Она описывает «непредсказуемые» системы, будущее состояние которых предугадать очень сложно, например, последствия финансового кризиса или поведение заряженных частиц в плазме. Один из ключевых параметров в этой теории, с помощью которого математики оценивают «уровень хаотичности» системы, — это показатель Ляпунова или спектр (несколько) показателей Ляпунова. Набор таких показателей нужен, чтоб описать поведение системы в разных режимах хаоса, например, частичном или полном. Если старший показатель Ляпунова положителен, то система находится в полностью хаотическом режиме. Если же он отрицателен, система стремится перейти от хаоса к порядку. Нулевой показатель означает практически отсутствие
изменений.
Ранее учёные из Института гидродинамики имени М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск) с коллегами с помощью показателей Ляпунова исследовали сигналы ЭЭГ пациентов с шизофренией, эпилепсией и алкоголизмом.
Выяснилось, что у здорового человека сигналы ЭЭГ носят хаотический характер, а у больных шизофренией — более гармонический. Более того, оказалось, что изменения значения показателя Ляпунова в
сигнале ЭЭГ пациента с эпилепсией может прогнозировать приближающийся приступ.
В новом исследовании авторы разработали единую систему критериев для оценки надёжности рассмотренных методов вычисления показателей Ляпунова. Учёные оценили точность восьми таких подходов: некоторые из них были основаны на системе уравнений, другие — на временных рядах.
Исследователи проверили правильность рассчитываемого показателя Ляпунова на системах, для которых он уже был вычислен другими учёными. Обобщённый метод Бенеттина служил эталоном, и на нём проверялась точность численных методов расчёта показателей Ляпунова для ряда нелинейных динамических систем. Это подход, при котором хаотичность системы оценивают, наблюдая за двумя изначально близкими траекториями движения системы и измеряя, как быстро они разбегаются друг от друга.
Метод отслеживает, как со временем меняются несколько очень малых независимых отклонений от исходной траектории, что позволяет получить не один показатель, а весь их спектр. Если исходные уравнения системы неизвестны и доступен только временной ряд, для оценки старшего показателя Ляпунова наиболее практичными оказались методы Кантца и Розенштейна.
«В дальнейшем нам хотелось бы усовершенствовать численные методы, которые мы используем для анализа в своих работах, чтобы преодолеть их некоторые ограничения и улучшить качество получаемых результатов. Кроме того, мы планируем расширить исследование на экономические, исторические и медико-биологические данные и системы», — рассказывает руководитель проекта Вадим Крысько, доктор технических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования гетерофазных материалов Института гидродинамики имени М.А. Лаврентьева СО РАН.
В исследовании принимали участие сотрудники Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. (Саратов), Уэстлейкского университета (Китай) и Казанского научного центра РАН (Казань).
