Недавно глава Федерального медико-биологического агентства России Вероника Скворцова заявила, что «нам 10—14 дней до выхода на плато с этой инфекцией, после этого мы какое-то время продержимся на плато и пойдём в обратную сторону, то есть фактически процесс напоминает синусоиду».
Какой эпидемиологической моделью пользовалась Вероника Игоревна, когда утверждала, что процесс выйдет на плато — нам не известно. Тем более неизвестно, будет ли болезнь иметь сезонный паттерн — поэтому пока мы не знаем, будет ли «процесс напоминать синусоиду».
Один из лозунгов кампании по борьбе с пандемией и движения #stayhome — это «Flatten the curve», «сгладим кривую». Имеется в виду эпидемиологическая кривая, никакого плато у неё нет.
Но откуда, собственно, взялась эта кривая? Почему именно такая, а не с плато, как у Вероники Игоревны? Какой математической формулой описывается?
Есть такая модель в эпидемиологии, называется она SIR, от «susceptible», «infected» и «recovered» (восприимчивые [к патогену], заражённые и выздоровевшие).
Обозначим число восприимчивых буквой S, число инфицированных буквой I и число выздоровевших — R. Тогда процесс можно будет описать системой из трёх дифференциальных уравнений.
Как читать эти уравнения? Всё проще, чем может показаться. В левой части уравнений стоит процесс, который мы хотим описать. В первом уравнении это — как меняется количество восприимчивых S во времени t, во втором — как меняется число инфицированных I во времени, и в третьем — то же самое для R, числа вызоровевших.
Разберёмся с частью справа. Изменение количества восприимчивых будет зависеть от того, сколько здоровых людей S переобщалось с инфицированными людьми I. β — это константа, которая определяет вероятность для здорового человека пообщаться с больным и заболеть. Число выздоровевших во времени будет определяться параметром I, константа γ будет определять вероятность выздоровления. И β, и γ задают скорость возрастания или убывания количества людей в трех группах. Зависимость числа инфицированных от времени (см. уравнение 2, та самая кривая!) будет описана как разность числа заболевших (βIS) и числа выздоровевших (γI).
Замечу отдельно, что это система уравнений, и по отдельности эти уравнения не будут работать как модель эпидемии.
На анимированном изображении выше — симуляция развития эпидемии при различных значениях параметра β. Синим обозначено количество непереболевших людей, красным — количество инфицированных, и зелёным — количество выздоровевших. Все эти значения указаны суммарно на определённый момент времени (суммарное количество кейсов за всё время аппроксимируется кривой Гамперца, но это уже другая тема).
По оси абсцисс мы измеряем время, в данной симуляции развитие эпидемии можно просчитать на промежутке от 0 до 100 дней (на шкалах слева от графика Tmax = 100). По оси ординат — количество людей, и всего в данной симуляции рассматривается население в 1000 человек (на шкалах слева S0 = 997 — начальное количество здоровых людей, и i0 — начальное количество больных). β — отражает эффективность карантинных мер. Чем меньше его значение, которое варьирует от 0 до 1, тем эффективнее карантинные меры и меньше людей заболевает. γ отражает эффективность лечения (то есть, скорость выздоровления), его значение также находится в диапазоне от 0 до 1, и чем оно больше, тем лучше.
В реальной жизни и β, и γ тоже меняются во времени, но их изменения носят нерегулярный характер, поэтому их сложно учесть.
Оставаясь дома, мы уменьшаем параметр β, и кривая инфицированных сглаживается. Кстати, заметьте, синусоиду кривая заболевших не напоминает даже отдалённо — её спад, в частности, в большинстве случаев будет идти медленнее, чем подъём.