Продолжаем разбираться с плюсами и минусами прямой демократии. Кто может поставить вопрос на голосование? Можно ли изменить решение, за которое проголосовали все?
Возможность поставить вопрос
Рассмотрим теперь второй нюанс «потенциального возражения».
Да, диктатор-специалист может оказаться именно тем, кто сформулирует правильный вариант ответа и вообще поставит сам вопрос, тогда как все остальные не могли предложить правильных вариантов, а то и вообще додуматься до этого вопроса.
Однако, как так получилось, что в обществе, которое слишком слаборазвито для постановки вопроса, нашёлся ровно один человек, на это способный, и именно он оказался диктатором? Тем более, если предполагать, что именно он способен формулировать вообще все вопросы, до которых неспособны додуматься остальные?
Что за чудесная ситуация привела к возникновению именно такого человека, да ещё и возвела его в диктаторы? Имеет ли смысл затачивать систему именно под такую ситуацию, если более вероятна ситуация, что, например, такой человек правда есть и он единственный, но не он при этом диктатор, или что таких людей больше одного?
Маловероятно, что при полной некомпетентности по всем сложным вопросам во всём обществе, единственный человек будет в них компетентен, а кроме того, будет компетентен в борьбе за власть в государстве или организации с диктатурой и победит в этой борьбе.
Скорее всего, будет не так. Скорее всего, многие люди окажутся компетентными в разных вопросах, а у руля при этом будет какой-то другой человек.
В этом случае, конечно, один из таких людей, возможно, как-то сможет прорваться к диктатору и донести до него тот вопрос, до которого мало кто смог додуматься, но им всем будет гораздо легче поставить этот вопрос на голосование при прямой демократии. И при ней же, в среднем, правильный ответ на него с большей вероятностью выиграет (по изложенным ранее статистическим причинам) в голосовании, чем его примет диктатор.
Ведь право принимать решения по принципу «один человек — один голос» вовсе не означает, что выносить вопросы на голосование и предлагать варианты ответов на них тоже в обязательном порядке должны все с абсолютно равной частотой. Вполне допустима, например, инициатива специалистов в постановке вопросов и формулировке ответов (хотя это не означает, что только специалисты имеют на это право — право равное у всех). И обращение к ним за консультацией — как всем обществом в целом, так и отдельными участниками голосования по собственному желанию. Допустима и пропаганда своего варианта со стороны специалистов (а потом и со стороны тех, кого убедили их аргументы). И разъяснения специалистов по поводу этих вопросов для широких масс граждан.
Понять, что аргументы действительно свидетельствуют в пользу актуальности данного вопроса и правильности некоторого решения, на многие порядки проще, чем додуматься до самого вопроса и до правильного ответа на него.
Так, все люди ещё в средней школе вполне осиливают алгебру, хотя большинство из них не открывали все эти формулы самостоятельно и, скорее всего, даже какую-то из них по отдельности. Тем не менее, понять методы применения и доказательства оказывается им вполне по силам. Или хотя бы, если не понять доказательство во всех его деталях, то понять, что верность формулы скорее доказана, чем не доказана.
Приведу пример, для которого я провёл небольшой опрос среди читателей своего блога.
Большинство поучаствовавших, скорее всего, не являются ни логиками, ни математиками (хотя некоторая часть наверно является). И, тем более, никто из них не является разработчиком формальной логики. Однако правильные ответы и на более простой вопрос, и на чуть более сложный набрали большинство голосов.
И вот она, наглядная статистика: коллектив, состоящий в большинстве своём из неспециалистов, голосованием выбрал действительно правильные ответы. Хотя, как видно по результатам, заметная часть проголосовавших, будучи назначенными диктатором по этим вопросам, приняли бы в качестве ответа неправильный вариант.
Учёт вероятности прихода к власти
Предыдущий раздел наводит на занимательную мысль.
Действительно, до этого всё время сравнивалась система с прямой демократией и система, где некоторый диктатор уже у власти.
Однако, как было сказано в предыдущем разделе, наличие очень крутого кандидата в наиболее эффективные диктаторы не означает, что именно он будет диктатором. То есть ещё один фактор, который портит диктатуру: не факт, что в ней у руля «тот самый». Как, разумеется, необходимость для системы диктатора с определённой вероятностью угадывания вовсе не означает, что такой человек вообще сейчас существует.
Итак, предположим, что где-то в обществе есть потенциальный кандидат (или целое множество таковых), вероятностные показатели которого сильно выше, чем оные у всего коллектива. В случае с диктатурой, если этот кандидат стал диктатором, то он будет принимать решения, согласно своим показателям. Если же не пришёл, их в среднем будет принимать кто-то, имеющий средние по коллективу показатели.
Пусть вероятность прихода такого диктатора к власти равна ptoPower.
Тогда вероятность принятия правильного решения на всём множестве вопросов с учётом вероятности прихода к власти в такой диктатуре будет
Чтобы такая система с диктатурой была эффективнее, чем прямая демократия для того же коллектива, должно выполняться соотношение
Это позволяет нам вычислить требуемую вероятность прихода к власти
Пусть у коллектива среднеквадратическое отклонение = 0,1, а хороший кандидат в диктаторы имеет среднюю вероятность правильного угадывания 0,9 со среднеквадратическим отклонением 0,1. Тогда график зависимости необходимой вероятности прихода к власти от средней по коллективу вероятности угадывания будет вот таким.
Красным на этом графике выделена область, где таковой диктатор вообще не может существовать.
Однако даже в синей области, где такой диктатор всё-таки существовать может, видно, что уже при средней вероятности по коллективу 0,6, такой диктатор должен приходить к власти с вероятностью 80 % — иначе диктатура, как система, окажется менее эффективной.
Чтобы хоть как-то спасти положение, придётся довольно ощутимо подкрутить параметры: увеличить разброс вероятностей правильных ответов на вопросы для коллектива до 0,2 и повысить вероятность угадывания для диктатора до 0,99.
Тут надо понимать, что распределение со среднеквадратическим отклонением 0,2 выглядит вот так
То есть в коллективе совсем большой разброс по вероятности правильного выбора, что означает существование в нём очень большого количества заблуждений.
Однако даже в этом случае оказывается, что при среднем для коллектива, равном 0,8 такой диктатор не может существовать в принципе, а при среднем, равном 0,7, вероятность прихода настолько гениального человека к власти должна быть 60 %.
Кстати, как уже говорилось, в вероятность прихода к власти входит и вероятность существования — ведь несуществующему человеку не получится прийти к власти. Так что, если вы подумали, что требуемые 60 % вероятности оказаться у власти для такого гения не так-то уж и много, то вы кое-чего не учли.
Ведь 0,6 — это вероятность того, что он существует и при этом пришёл к власти.
То есть
Поэтому для набора этих 60 % он должен, например, с вероятностью 80 % существовать и с вероятностью 75 % приходить к власти при условии своего существования. Или, как альтернатива, существовать с вероятностью 67 % и с вероятностью 90 % приходить к власти. Если же такой человек существует, скажем, с вероятностью 50 %, то вероятность прихода к власти должна была бы быть 120 %, что, конечно, невозможно, то есть вероятность существования 50 % (чудесное везение, что человек с такими замечательными параметрами с такой большой вероятностью существует) всё равно оказывается недостаточной, чтобы была хоть какая-то возможность с вероятностью 0,6 оказаться у руля.
В общем, как можно видеть, учёт вероятности прихода к власти (а заодно и существования) осложнил и так уже незавидное положение диктатуры в сравнении с прямой демократией.
Если же рассматривать не всё множество вопросов, а отдельные вопросы, то на них при большом коллективе и отсутствии заблуждений система с диктатором вообще не имеет никаких шансов.
Причём даже на более мелких коллективах шансы весьма призрачны.
Придётся взять совсем маленький коллектив и совершенно гениального в этом вопросе диктатора, чтобы у диктатуры появились хоть какие-то шансы — хотя бы чтобы сделать возможным существование такого диктатора для этого вопроса.
Вообще, «область возможного» — то есть та область, где диктатор, делающий диктатуру сравнимой по эффективности с демократией, хотя бы может существовать, весьма невелика.
Обратите внимание, «треугольник возможного» не только занимает лишь менее четверти площади, так ещё и в большей его части диктатор должен иметь вероятность прихода к власти, большую ½.
Если же сделать среднеквадратическое отклонение для коллектива сравнимым с оным у диктатора, «треугольник возможного» ужимается до совсем крошечных размеров, а его синяя часть становится совсем мизерной.
Иными словами, диктаторская система может иметь смысл исключительно в тех вопросах, где распространены массовые заблуждения, а потому выбор кого угодно диктатором уже приводил бы к повышению вероятности правильного ответа. В вопросах же, где таких заблуждений нет, как и на всём множестве вопросов в обществе с правдоподобными параметрами, даже если бы очень хорошо угадывающий диктатор мог бы улучшить положение, он должен был бы существовать и приходить при этом к власти с неправдоподобно высокой вероятностью.
Обязательные для прямой демократии правила
На всякий случай, повторюсь: даже без дополнительных правил демократия по чисто статистическим причинам в среднем будет более эффективна — кроме как в неких довольно фантастических случаях вида «общество, в среднем заблуждающееся по большинству вопросов, но с просвещёнными и добронамеренными диктаторами, раз за разом с неправдоподобно большой вероятностью приходящими к власти, во главе».
Однако даже более эффективную систему можно попытаться сделать ещё более эффективной.
В частности, можно отметить то, что бытующее заблуждение практически гарантированно приводит к принятию неправильного решения, и попытаться скомпенсировать ущерб и в этих случаях тоже — ведь это потенциально может в чём-то понизить уровень жизни, затормозить развитие некоторых областей деятельности и т. п.
Да, в среднем по всем вопросам демократия всё равно будет выигрывать у диктатуры, но хотелось бы, чтобы она выигрывала на каждом из них. Или хотя бы выигрывала на подавляющем большинстве, а на оставшейся малой их доле не очень сильно проигрывала. На данный же момент получается, что существует некоторый спектр вопросов (области массовых заблуждений), где демократия даёт худший результат, чем диктатура — практически гарантирует принятие голосованием неверного решения, если по этому вопросу много людей заблуждается.
Однако заблуждение ведь может быть временным. Возможно, до момента окончания голосования многие голосующие ещё не осознали ошибочность решения. А значит, его надо будет отменять уже после принятия. Поэтому одним из ключевых для прямой демократии правил должно быть следующее.
Никакое решение не принимается окончательно и бесповоротно
Все тезисы типа «коней на переправе не меняют», «приняли — обязаны исполнять во чтобы это ни стало» — это не для прямой демократии, поскольку они будут закреплять неправильные решения и многократно увеличивать ущерб.
Людям часто кажется, будто, если заметное количество ресурсов уже вложено в воплощение какого-то проекта, то отказ от него будет тратой этих ресурсов. Однако если сам проект был ошибочным, то как раз, наоборот, его продолжение будет тратой ресурсов — тех, которые можно не тратить, в отличие от уже по ошибке потраченных.
Грубо говоря, если проект таков, что построенный по нему дом упадёт, и исправить это не удастся, то лучше остановить постройку этого дома в тот момент, когда стала понятна принципиальная ошибка проекта. Пусть на три этажа уже затрачены время и материалы, однако, если достроить оставшиеся девять этажей, добавить отделку, поселить туда людей, потом спешно их эвакуировать и наблюдать за тем, как дом падает, а потом разгребать завалы, то ресурсов будет потрачено гораздо больше, а результат тот же или даже хуже.
Ощущение, что «если мы уже решили и вложились, то обязательно надо закончить», может быть следствием обиды за растраченные средства и усилия или способом психологической защиты: «не признавать же, что я ошибся!», — однако оно не является рациональным, как не являются рациональным и воплощение этого тезиса в жизнь.
Кстати, надо отметить, что некоторое «следствие» данного ощущения иногда используется для обоснования отказа от демократии: «вот-де, если бы был один ответственный, то такого бы не произошло».
Однако легко убедиться, что сплошь и рядом такое происходит, хотя в большинстве стран и отраслей в настоящее время нет прямой демократии. Да, вполне понятно желание свалить вину за ошибку на кого-то и покарать его — особенно, если он сам под это заранее подписался, — но такого рода «месть» действительно может удерживать от сознательных злоупотреблений, воровства, коррупции и очковтирательства, однако не удерживает от совершения ошибок. Да, если человека сильно пугать последствиями, он, возможно, испугается, что подтолкнёт его к гораздо более долгим проверкам для перестраховки (впрочем, менее эффективным на единицу времени из-за постоянного стресса и страха), однако эту проверку можно было бы удлинить и без запугивания — просто выделив на неё достаточное время.
К сожалению, чтобы исключить вообще все возможные ошибки, проверка должна быть бесконечно долгой, а материальный результат обычно нужен нам быстрее, чем к моменту, когда солнечная система перестанет существовать, а потому вероятность наличия ошибки никогда не будет нулевой.
В том числе, потому, что ряд вещей на этапе предварительного априорного обдумывания гораздо менее очевидны, чем после того, как какую-то часть проекта уже попытались воплотить в жизнь.
Иными словами, с самого начала должно быть предусмотрено не «приняли — выполняем, во чтобы это ни стало», и не «будет плохо работать — покараем вон того человека и на том успокоимся», а «в какой-то момент начнём реализацию, отдавая себе отчёт, что в проекте могут быть ошибки, и от него, возможно, придётся совсем отказаться или же очень сильно видоизменить».
То есть для каждого принятого решения в каждый момент времени должна быть возможность его пересмотреть и принять другое. По факту «диктаторы» довольно часто именно так и поступают (только далеко не всегда говорят об этом другим), так с чего бы отказываться от этого при прямой демократии? Только лишь потому, что некоторые диктаторы делают вид, что они всегда угадывают с первого раза? Или потому, что наиболее безумные из их числа, чтобы потешить своё эго, настаивают, даже когда совершенно очевидна провальность всего проекта?
Или потому, что, зачастую, «ответственный» под давлением соглашается на заниженные сроки, а потом, убоявшись кар, изо всех сил пытается скрыть провальный результат? Ну так это ж плохо, а не хорошо: проект всё равно провалился, но ресурсы на него были потрачены в полной мере и, возможно, продолжают тратиться на неэффективную, опасную эксплуатацию и на сокрытие ошибок, так ещё и, вдобавок, из этой информации не получится сделать никаких выводов — где ошиблись, почему, какими явлениями вызываются приведшие к провалу эффекты.
Была бы официальная возможность передумать уже после старта, а не только до него, ничего бы этого не произошло.
Однако тут возникает вопрос, а каким образом люди вообще передумают после принятия неправильного решения? Что их побудит?
Понятно, что побудить их передумать могут аргументы — особенно те, которые широко распространяются.
Из чего следует второе правило
При прямой демократии не должно быть цензуры
Может показаться, что без цензуры как раз и будут распространяться заблуждения. Некие «мы» запретим их распространять, но при этом будем распространять верную точку зрения.
Однако, кто такие эти «мы»?
Если все решения принимаются большинством голосов, то и решение о запрете распространения некоторых доводов будет принято им же. Но ведь распространённое заблуждение в этом случае гарантированно приведёт к запрету распространять опровергающие его аргументы. Таким образом, само наличие заблуждений при допустимости цензуры обусловит не только воплощение их в жизнь, но и значительные затруднения в отказе от этих заблуждений.
При этом там, где массового заблуждения нет, и без цензуры почти гарантированно будет принято правильное решение — ведь решения принимаются большинством голосов, а без заблуждения вероятность правильного решения больше ½ для каждого, что при прямой демократии практически гарантирует принятие именно этого решения.
Диктатор мог бы, несмотря на цензурные запреты, передумать сам по себе, но может ли весь коллектив, если есть цензура?
В общем случае, такое маловероятно. Однако есть определённое условие, при котором, даже при наличии цензуры (не говоря уже об её отсутствии) коллектив всё-таки с большой вероятностью может передумать.
Решение принимают все те люди, которых коснутся его результаты, и только эти люди
В этом случае принятое решение напрямую сказывается на его принявших — по крайней мере, на большинстве из них.
Действительно, если человек поддерживал решение, но потом, когда оно начало воплощаться, стал лично наблюдать ухудшение чего-то в своей жизни или сильно меньшее ожидаемого улучшение, он с ненулевой вероятностью передумает, даже если его никто за это никто не агитирует (а если агитируют уже многие, то ещё быстрее).
С другой стороны, если принятое им решение его напрямую не касается, вероятность того, что он передумает, существенно ниже. Цензура же в этом случае способна свести эту вероятность практически к нулю.
Таким образом, критически важным оказывается это, вынесенное в заголовок раздела, правило прямой демократии: без него система будет гораздо менее эффективна. Ведь именно оно обуславливает «массовое передумывание по результатам экспериментов» и одновременно с тем делает его максимально быстрым, поскольку вероятность передумать у тех людей, кого касается решение, в среднем значительно выше, чем у тех, кто никак не связан с последствиями воплощения этого решения в жизнь.
Итак, если вкратце, чтобы демократия была эффективна даже там, где существует заблуждение, принятое решение должно напрямую сказаться на тех, кто его принял, и они должны иметь возможность изменить своё решение уже после того, как было принято общее решение большинством голосов.
Скорость изменения решения
Тем не менее, возникает вопрос: а насколько быстро происходит смена мнения у коллектива? Быстрее ли она, чем у диктатора, который аналогичным образом ошибся?
Ведь если коллектив передумывает дольше, то все те преимущества, которые имеет прямая демократия при отсутствии заблуждения, могут быть перевешены малой скоростью изменения мнения в случае наличия заблуждения.
Диктатура в этом случае, возможно, будет ошибаться чаще, но зато быстрее исправлять ошибки.
Чтобы ответить на этот вопрос, надо вычислить «скорость» изменения решения при прямой демократии и при диктатуре, а потом их сравнить.
Рассмотрим следующую модель: неправильное решение уже принято. Однако сказывающиеся последствия, пропаганда, чьи-то аргументы и т. п. приводят к тому, что на каждой «итерации» у каждого участника голосования или у диктатора есть некоторая вероятность изменить своё решение.
Итерацией здесь может быть что угодно — какой-то промежуток времени, некоторое событие, неважно. Важно то, что тут предполагается, что итерации у коллектива и у диктатора — одни и те же. И уже в зависимости от их характера оценивается вероятность изменить своё решение на каждой итерации.
Скорость диктатора
Вероятность передумать не позже определённого шага для одного человека может быть найдена из простого соображения.
На каждом шаге вероятность не передумать равна
где pdictToGood — вероятность передумать на каждом шаге.
Если сделано step шагов, то это значит, что на текущем и на каждом предыдущем шаге диктатор не передумал. Вероятность этого составного события, соответственно, равна произведению вероятностей событий, его составляющих.
Вероятность же передумать к этому шагу равна единице минус эта вероятность.
Исходя из этого, можно решить обратную задачу: если задана вероятность передумывания, то сколько диктатору потребуется шагов, чтобы с этой вероятностью передумать?
Обратите, кстати, внимание на одну, связанную с этим, «интуитивную ошибку». Вероятность выпадения шестёрки на кубике — одна шестая. Какова вероятность, что за шесть бросков хотя бы один раз выпадет шестёрка?
Многим интуитивно кажется, что вероятность = 1, поскольку
Однако какова тогда вероятность того, что она хотя бы один раз выпадет за семь бросков? Неужели семь шестых? Вероятность ведь не может быть больше единицы.
Кроме того, все ведь понимают, что за шесть (и вообще за любое другое) количество бросков всё-таки, вполне возможно, шестёрка не выпадет ни разу, а потому единичной вероятности тут быть не может.
Правильное же решение аналогично тому, что было только что проделано со сменой мнения диктатора. Для n бросков вероятность выпадения хотя бы одной шестёрки
Скорость прямой демократии
Количество шагов, за которые передумает коллектив, можно найти из следующих соображений.
Если задана средняя вероятность передумать на каждом шаге для каждого члена коллектива — ptoGood, то при достаточно большой его численности (сотня человек и более) она в среднем равна доле передумавших на этом шаге.
Это, в свою очередь, означает, что количество всё ещё выбирающих неправильный вариант к шагу step (включая тех, кто с самого начала его принял) задаётся соотношением
При этом на нулевом шаге — то есть сразу после изначального голосования — количество принявших неправильное решение нам известно.
Теперь мы можем решить это рекурсивное уравнение, с учётом начальных условий.
Мнение большинства сменится в тот момент, когда количество принявших неправильное решение будет равно половине от численности коллектива (в этот раз можно проигнорировать переход до ближайшего снизу целого и прибавление единицы — заметной разницы это не даст, а вот формулу усложнит).
Чтобы решение этого уравнения выглядело проще и понятнее, можно ввести дополнительную переменную, равную доле изначально принявших неправильное решение.
Тогда
Для конкретной доли изначально принявших правильное решение количество шагов зависит от вероятности передумать следующим образом.
Если же отобразить зависимость и от доли, и от вероятности передумать, то закономерность вот такая.
Большое количество шагов имеет место в тех случаях, когда по какой-то причине ошиблось подавляющее большинство и вероятность передумать на каждом шаге очень мала. Это — ситуация с доминирующим заблуждением и, видимо, низкими уровнем критического мышления в коллективе, по коей причине каждый его участник оказывается почти что не в состоянии осознать ошибочность решения по его последствиям. Причём, надо отметить, здесь имеют место крайние формы всего этого (почти никто не проголосовал за правильное решение и вероятность передумать на каждом шаге при этом — менее 5 %).
В остальных же случаях требуется совсем мало шагов (при этом на очень большой области — вообще только один шаг).
Величина «разброса»
Из формулы
видно, что количество шагов не зависит от количества участников голосования. Однако это — средняя величина, и от количества участников зависит «разброс» количества шагов в каждом конкретном случае вокруг этой величины.
Насколько он вели́к?
Прежде всего следует сказать, что «разброс» в количестве шагов существует не только для коллектива, но и для диктатора, ведь его угадывание — тоже вероятностный процесс, а потому и он угадает не через детерминированное количество шагов, а лишь с некоторой вероятностью на каком-то шаге.
Поэтому имеет смысл сравнивать «ширину разброса» для коллектива с «шириной разброса» для диктатора.
Правда, формы распределения при принятии решения коллективом и диктатором совершенно разные: для коллектива оно близко к нормальному, для диктатора же это — геометрическое распределение.
По этой причине нет единой величины, одинаково хорошо отображающей разброс. Однако всё-таки можно сделать некоторые пометки: в частности, пометить точками шаг, соответствующий заданной доле случаев, когда на этом шаге или до него коллектив или диктатор сменили решение.
На последующих графиках точками будет помечен уровень 90 %.
Видно, что при малом количестве участников разброс в шагах довольно большой, однако при увеличении количества участников он быстро уменьшается.
Кроме всего прочего, здесь можно видеть, что при данных параметрах коллектив достигает 90 % вероятности в смене мнения заметно быстрее диктатора.
Хотя диктатор при этом имеет заметную вероятность смены мнения уже на первом шаге, для коллектива же эта вероятность исчезающе мала, если среднее прогнозируемое количество шагов равно 4 или более, а количество участников больше нескольких десятков.
Однако, вместе с тем, встречаются случаи, когда на смену решения ему требуется несколько десятков шагов, в отличие от коллектива, укладывающегося в среднем 4—5 шагов, а при большой численности — не более чем в четыре.
И это при том, что в данном случае предполагалось, что правильное решение не выбрал вообще никто из всего коллектива — то есть господствовало тотальное заблуждение.
Скорость принятия решений
Эту же ситуацию — с нулевой долей изначально выбравших правильный вариант — можно рассматривать, в том числе, как оценку скорости принятия решения, считая, что «передумывание» в этом случае является «обдумыванием», и весь процесс, таким образом, моделирует то, как быстро проголосует половина участников коллектива или диктатор.
В прошлом разделе уже было показано, что при равных и относительно больших вероятностях «принять решение» для диктатора и для коллектива половина коллектива сделает это существенно быстрее, чем диктатор.
Что как бы намекает нам на то, что «медленность» демократии — это миф. На самом деле, она в большинстве случаев работает гораздо быстрее диктатуры: ведь даже для кворума, равного половине коллектива, решение принимается заметно быстрее, чем для диктатора, если же оный уменьшить, то количество шагов сократится ещё сильнее. Так, например, при вероятности принять решение на каждом шаге 0,2 и кворуме 10 % решение будет принято вообще за один шаг (по сравнению, напомню, с примерно 10 ю шагами для диктатора).
И даже при вероятности в 0,01 коллективу при кворуме 10 % коллективу понадобится 12 шагов для принятия решения с вероятностью 90 %.
При этом взглянем, например, насколько быстро диктатор принял бы решение, если бы и для него вероятность была равна 0.01.
Примерно 220 шагов потребовалось бы ему для достижения 90 % вероятности принятия решения. А в некоторых отдельных случаях ему понадобилось бы более 700 шагов. И в лишь ничтожно малой доле случаев он принял бы его быстрее, чем коллектив из 1000 человек с кворумом в 10 %, который гарантированно закончит определяться к 12-му шагу.
Скорость передумывания в разных случаях
Для большей наглядности имеет смысл использовать другой вариант отображения гистограммы. До сего момента на ней отражалась доля людей, передумавших ровно на соответствующем шаге. Однако, поскольку нас интересует не сам конкретный шаг, а доля уже передумавших к этому шагу, на гистограмме можно отображать именно это: какой процент людей уже передумал на этом шаге или до него.
Рассмотрим для начала равные вероятности для диктатора и коллектива. Если неправильный вариант выиграл с небольшим перевесом, то при вероятности передумать в 1/5, передумывание коллектива состоится на первом же шаге, диктатору же при такой вероятности потребуется примерно 11 шагов.
Даже если подыграть диктатору и, наоборот, ослабить способности коллектива, коллектив всё равно в среднем продолжит лидировать в скорости изменения решения.
Да, мегагениальный диктатор с вероятностью ½ передумает на первом шаге, но коллектив с вероятность 0,9 передумает на втором и с почти единичной вероятностью передумает к третьему, тогда как диктатор (напомню, запредельно гениальный) может дойти до восьмого, а 95 % вероятность наберёт только к четвёртому.
Если рассмотреть случай со значительным заблуждением по вопросу, когда правильный вариант выбрала лишь треть человек, то при относительно большой вероятности передумать у голосующих получится следующее.
Сравнение тут снова ведётся с совершенно гениальным диктатором, который с вероятностью ½ передумывает на каждом шаге. И он снова проигрывает демократии с раскладом, аналогичным предыдущему.
Преимущество диктатора станет заметно только в том случае, когда вероятность передумать в коллективе очень мала и при этом у диктатора она в разы выше. Вот, например, параметры, при котором примерно к одному и тому же шагу коллектив и диктатор передумывают с вероятностью 90 %.
Тут, кроме того, видно, что диктатор с заметно большей, чем коллектив, вероятностью передумает на более ранних шагах (вероятность того, что коллектив передумает до 12-го шага вообще исчезающе мала). Но зато к моменту достижения 90 % вероятности у диктатора коллектив передумает с вероятностью почти 100 %, тогда как у диктатора заметный шанс всё ещё не передумать сохраняется до сорокового шага.
Однако если здесь уменьшить разрыв в вероятностях, преимущества диктатора уже сойдут на нет.
Заметьте, тут вероятность передумать на каждом шаге у диктатора втрое выше, чем у каждого голосующего, однако количество шагов, требуемое для передумывания с вероятностью 90 %, для диктатора больше в 2,4 раза, чем для коллектива.
Обратите также внимание, что вероятность того, что диктатор передумает раньше коллектива, всё ещё отличается от нуля, однако существенно выше, чем в прошлом случае, вероятность того, что диктатор передумает значительно позже.
При этом, конечно, можно подобрать такие параметры, когда преимущество диктатора будет неоспоримым.
Однако оно, как и раньше сводится к «экстремальному случаю»: неправильный вариант выбирается вообще всеми, при этом вероятность передумать у голосующих очень низкая, а у диктатора, напротив, довольно высокая.
Сравнение «среднего»
Обращу ещё раз внимание на то, что распределения по количеству шагов у диктатора и у коллектива — разные. Поэтому те две «точки», которые для них сравниваются, это не одно и то же по своему математическому смыслу.
Для коллектива берётся наиболее вероятное количество шагов, совпадающее со средним по распределению.
Коллектив почти наверняка передумает к этому шагу — с небольшим разбросом в обе стороны, ширина которого зависит от численности коллектива.
Для диктатора берётся «порог угадывания» — количество шагов, соответствующее наперёд заданной вероятности передумать к этому шагу или раньше.
Это уже вовсе не «самое вероятное количество шагов», а что-то вроде «гарантии». Вроде того, что «отлично, если он передумает раньше, но нам главное, чтобы не позже».
Существуют наборы параметров, при которых очевидно лучше или хуже тот или иной вариант, в других же случаях мы имеем дело с «разными оптимизациями»: что лучше, передумать гарантированно к какому-то шагу, но при этом лишь с исчезающе малой вероятностью передумать сильно раньше, или же передумать с относительно большой вероятностью сильно раньше, но и — если не повезёт — со значительной вероятностью сильно позже.
От выбора пороговой вероятности, таким образом, будет сильно зависеть оценка того, какой вариант оказался лучше.
Напомню, что количество шагов для диктатора задаётся соотношением
Здесь pdictChange — интересующая нас «пороговая» вероятность передумывания.
Для прямой демократии же действует соотношение
Задав конкретное значение для «пороговой» вероятности, мы можем составить уравнение, определяющее приблизительную равнозначность систем для этого заданного порога.
Теперь найдём, например, ту вероятность передумать на каждом шаге для диктатора, которая нужна, чтобы сравняться с коллективом (в смысле совпадения «порогового» количества шагов со средним у коллектива) при заданной вероятности передумать на каждом шаге в коллективе и доле с самого начала принявших правильное решение.
Возьмём, например, порог 75 %, и долю принявших правильное решение, равную 1/3. Тогда требуемая для «гарантированного» совпадения по эффективности с коллективом будет зависеть от вероятности передумать на каждом шаге голосующими следующим образом
Если повысить порог для диктатора до 90 %, то требования к вероятности станет более сильным.
Но даже при сниженной до 50 % вероятности, всё равно диктатор должен передумывать с заметно большей вероятностью, чем участники, чтобы сравняться по эффективности с голосованием.
Точно так же не спасло бы ситуацию, если бы вообще все участники приняли неправильное решение.
И только предположение, что вообще все участники ошиблись, а диктатор должен успеть передумать быстрее них лишь в 50 % случаев, приводит к уравниванию требований к вероятности диктатора и участников.
С другой стороны, если ошиблось лишь слегка больше половины участников, а от диктатора мы ждём, что он хотя бы в 75 % случаев окажется быстрее, то требования к нему снова повышаются до «беспрецедентно гениальный».
В общем и целом, для заданного порога зависимость требования к вероятности передумывания у диктатора зависят от вероятности передумывания у участников и доли изначально принявших правильное решение вот так:
Вероятность, что диктатор передумает быстрее
Количество шагов, за которые коллектив в среднем передумает, задаётся соотношением
Вместе с тем, известна вероятность того, что диктатор передумает не позже определённого шага.
Подставив количество шагов в эту формулу, мы получим приблизительную вероятность того, что диктатор при данных параметрах передумает быстрее коллектива.
Правда, эта формула работает только для тех случаев, когда наиболее вероятное количество шагов больше или равно двум — поскольку ни диктатор, ни коллектив не могут поменять мнение быстрее, чем за один шаг.
Чтобы найти вероятность в случае наиболее вероятного количества шагов меньше двух, можно воспользоваться уже известной из самых ранних разделов статьи формулой вероятности принятия правильного решения.
В данном случае, заменителем p1 выступает ptoGood, количеством людей — то количество, которое выбрало неправильное решение, а необходимым количеством для «выигрыша» — та разность, которой не хватает для того, чтобы набрать на один голос больше половины участников.
Таким образом, вероятность передумывания коллектива на шаге, меньшем двух, равна
Вероятность же того, что диктатор передумает быстрее, равна произведению вероятности того, что диктатор передумал, на вероятность того, что не передумал коллектив.
Впрочем, в промежутке между вторым и примерно четвёртым шагом всё равно остаются некоторые отклонения модели от предсказываемого «составной формулой» — ввиду того, что там особенно заметен эффект от разброса, не учтённый в формуле, поэтому дальнейшие графики будут строиться на основе численного моделирования (им же, в том числе, проверена относительная точность формул аналитического вычисления вероятности).
И вот результат для 1/3 выбравших правильное решение.
Жёлто-красным, как видно по легенде, тут помечена область, где вероятность диктатора передумать быстрее выше ½, а синим — где она ниже. Глубокий синий цвет в правой части графика соответствует вероятностям менее 0,001.
Белая область — это тот случай, когда диктатор и коллектив практически равны, и диктатор передумывает быстрее коллектива примерно в половине случаев.
Можно видеть, что область, где диктатор выигрывает в скорости (то есть опережает коллектив чаще, чем в половине случаев) весьма невелика и, как уже неоднократно бывало раньше, расположена там, где коллектив передумывает с очень малой вероятностью, а диктатор — с очень большой.
Если предположить, что правильное решение не выбрал никто, то картина выглядит вот так.
Этот график, как тоже уже было ранее, по совместительству является графиком того, насколько вероятно, что диктатор примет решение быстрее, чем коллектив. Снова видно, что уверенное лидирование диктатора расположено там, где вероятность принятия им решения заметно выше, чем аналогичная вероятность для каждого голосующего, то есть снова поголовно заблуждающейся коллектив, где все упорно не передумывают, чтобы ни наблюдалась.
Для небольшого же перевеса в пользу неправильного варианта, как можно видеть, у диктатора вообще почти что нет шансов не просто сравнимо часто передумывать быстрее, но хотя бы передумывать быстрее с не исчезающе малой вероятностью.
Итоги
На протяжении данной статьи было проверено множество параметров, по которым диктатура могла бы оказаться лучше прямой демократии…
- вероятность принятия правильного решения в отдельном вопросе
- вероятность принятия правильного решения на всём множестве вопросов
- скорость принятия решения
- скорость изменения мнения после неправильно принятого решения
- вероятность диктатора принять или изменить решение быстрее, чем коллектив
…и почти всегда получалось, что диктатор, если и может принципиально сравниться с демократией по этим параметрам, то только в том случае, если его качества значительно превосходят среднее по коллективу. В некоторых случаях такое превосходство оказывалось тождественно «уровню гения, не имеющего прецедентов в истории», но даже в тех случаях, когда требуемая вероятность принятия правильных решений или передумывания не отличалась в разы от участников коллектива, всё равно оказывалось, что она неизбежно должна быть заметно выше, чем у каждого из них.
При этом даже такой вариант — возможность хоть как-то поконкурировать — преимущественно располагался там, где каждый участник коллектива угадывает незначительно лучше монетки или даже хуже монетки (то есть находится в плену заблуждения). Что для отдельного вопроса ещё возможно, но крайне маловероятно на всём множестве вопросов.
Одновременно с тем передумывать и принимать решения все эти люди должны с очень малой вероятностью на каждой итерации — иначе они поменяют своё коллективное мнение или примут коллективное решение быстрее диктатора.
Вдобавок выяснилось, что столь гениальный диктатор должен существовать в обществе и приходить в нём к власти с нереалистично высокой вероятностью, поскольку при меньших вероятностях сама система — диктатура — сможет конкурировать с прямой демократией только при условии маловероятного и от того очень редкого везения — ведь в большинстве случаев будет править не требуемый «гений», а человек, способности которого радикально не дотягивают до требуемых для того, чтобы хотя бы сравняться в эффективности с прямой демократии, не то что её превзойти.
Из всего этого следует, что не только в моральном аспекте, или исходя из представлений о справедливости и необходимости развития всех и каждого, следует предпочитать прямую демократию диктатуре или правлению малых групп, но и из чисто практических соображений: значительно большей вероятности принятия правильных решений при тех же способностях среднестатистического человека, большей скорости реагирования и так далее.
Я думаю, то, что до сих пор в обществе распространено обратное мнение, видимо, является результатом оценки преимуществ той или иной системы чисто «навскидку» или «из общих интуитивных соображений», либо же результатом сознательной дезинформации людей, ведь действительно, статистический анализ показывает однозначное преимущество прямой демократии.